--- name: math-foundation version: 1.0.0 description: Contemporary mathematics core knowledge system - 6 dimensions + Grand Unified Programs + milestone achievements. For complex math problem solving, financial engineering, algorithm design. ---
Math Foundation Knowledge Base
1. Logic & Axiomatic Foundations
- Mathematical Logic, Set Theory, Axiomatic Systems
- Godel Incompleteness Theorems, Formal Proofs
2. Algebraic Structures
- Groups, Rings, Fields, Modules, Category Theory
- Homological Algebra, Langlands Program
3. Geometry & Topology
- Topology: continuity, homotopy, homology, manifolds
- Differential Geometry, Riemann Geometry
- Poincare Conjecture (solved by Perelman 2003)
4. Dynamics & Analysis
- Real/Complex Analysis, Functional Analysis
- Differential Equations, Dynamical Systems, Calculus of Variations
5. Random & Statistics
- Probability Theory, Stochastic Processes, Martingales
- Stochastic Differential Equations (SDE)
- Law of Large Numbers, Central Limit Theorem
6. Discrete & Computation
- Combinatorics, Graph Theory, Number Theory
- Algorithm Complexity: P/NP/NP-Complete
- Cryptography: RSA, Elliptic Curve
Grand Unified Programs: Langlands Program
Connects: Number Theory, Algebraic Geometry, Representation Theory, AnalysisFinancial Mathematics Core
- Black-Scholes: dS = mu dt + sigma dW
- Ito's Lemma, Girsanov Theorem
- Feynman-Kac Formula
Milestone Achievements
- Poincare Conjecture (2003)
- Fermat's Last Theorem (1994)
- Green-Tao Theorem (2004)
🔬 Proof Verification Layer — Lean 4 + Wolfram (تحقّق مزدوج، أُضيف 2026-09-28)
القاعدة (تفعيل تلقائي لكل مسألة رياضية/فيزيائية/هندسية/علمية ذات قيمة): بعد حلّ أي مسألة حسابية/برهانية، تحقّق من النتيجة صورياً (formal, لا احتمالي) قبل التسليم:
1. Lean 4 (تحقّق برهاني رسمي) — skills/lean-verify/lean_verify.py:
- verify-eq "<expr>" "<value>" — تحقّق حسابي (rfl/decide، Nat/Int).
- check "<lean theorem>" — تحقّق من برهان/نظرية.
- fail-safe: أي تعذّر → "unverified" لا ينهار (never-stop). Lean 4.34.1 + Lake 5.0.
1b. Lean-Phys (تحقّق فيزيائي — 🆕 2026-09-30) — verify-phys "<formula>" '<inputs_json>' <expected> [tol]:
- تحقّق double-check لأي معادلة فيزيائية/هندسية بالوحدات (F=ma · حركة · عزم كمرة w·L²/8 · طاقة · ...).
- مُختبَر حيّاً: F=ma→proven · السقوط الحر 19.6m→proven · عزم كمرة 90kN·m→proven · خطأ متعمّد→MISMATCH.
- fail-safe: أي تعذّر → unverified لا ينهار. يخدم الفيزياء + الهندسة الإنشائية.
2. Wolfram (تحقّق رمزي/رقمي) — للتكامل/التفاضل/المعادلات المعقّدة (المصدر الثاني المستقل).
3. القاعدة الذهبية: أي نتيجة عددية/برهانية أساسية → مرّرها على Lean (verify-eq) و Wolfram حين أمكن؛ تطابقهما = تأكيد صوري. اختلافهما = توقّف + إعادة فحص. هذا يخدم كل المجالات: رياضيات · فيزياء · هندسة (إنشائي/openseespy) · علوم.
4. متى يُفعّل: أي مسألة ذات قيمة (لغز/برهان/حساب هندسي/معادلة فيزيائية/نتيجة عددية حرجة). العابر البسيط لا يحتاجه.
السند الأكاديمي (النشرة 2026-09-28): OpenAI أثبتت blowup في Navier-Stokes بـ Lean · Anthropic صاغت فيرما الأخيرة machine-checked في Lean 4 → Lean صار أداة إثبات جدّية = صيد أكاديمي حقيقي لهيئة تُخرّج النخبة.
🔄 نمط الاستدلال: «اقرأ الرياضيات بالمقلوب» (Reverse-Math — من معجزة Claude P-256، 2026-10-21)
القاعدة الحاكمة قبل أي brute-force: إذا واجهت مجهولاً فضاء احتمالاته هائل (أكبر من عمر الكون) → لا تخمّن. ابحث أولاً عن: 1. علاقة جبرية قابلة للعكس (ضرب/جمع خطّي مثل LCG/rand48 → يُعكس حسابياً خطوة بخطوة للوراء). 2. بنية شبكة (lattice) → حوّل «استعادة بتات مجهولة» إلى مسألة أقصر متجه ثم طبّق LLL/BKZ (skills/cryptanalysis-lab/crypta.py).
3. بصمة إحصائية (انحياز بتات/نمط) تكشف المصدر (أي مولّد/خوارزمية).
4. نقطة مرجعية للتحقّق (علامة تهيئة/طابع زمني) لإثبات الوصول للحالة الأولى.
الدرس: Claude حلّ لغز 25 عاماً لأنه عكس الرياضيات بدل تجربة 2^160 احتمال. يُثري كل حلّ لغز/برهان/استعادة حالة/تحليل عكسي. الأداة العملية: cryptanalysis-lab (LLL + PRNG state recovery + HNP + curve-seed provenance).